Solution:
\(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (n+1) }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n+1 } } } \\ \qquad \qquad =\frac { 1 }{ 2 } \left( \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \left( \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } +2\frac { { n } }{ { 2 }^{ n } } +\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } \right) } \right) \\ \qquad \qquad =\frac { 1 }{ 2 } \left( \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } +2\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { n } }{ { 2 }^{ n } } } +\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } } \right) \\ \qquad \qquad =\frac { 1 }{ 2 } \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } +0+2(2)+2 \right) \\ \qquad \qquad =\frac { 1 }{ 2 } \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } +6 \right) \\ \qquad \qquad =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } +3\\ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } =3\\ \\ \frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } =3\\ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } =6\\ \)
\(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (n+1) }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n+1 } } } \\ \qquad \qquad =\frac { 1 }{ 2 } \left( \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \left( \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } +2\frac { { n } }{ { 2 }^{ n } } +\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } \right) } \right) \\ \qquad \qquad =\frac { 1 }{ 2 } \left( \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } +2\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { n } }{ { 2 }^{ n } } } +\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } } \right) \\ \qquad \qquad =\frac { 1 }{ 2 } \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } +0+2(2)+2 \right) \\ \qquad \qquad =\frac { 1 }{ 2 } \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } +6 \right) \\ \qquad \qquad =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } +3\\ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } =3\\ \\ \frac { 1 }{ 2 } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } =3\\ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } } =6\\ \)